Mathématiques — Baccalauréat Série F

Cameroun — Ministère des Enseignements Secondaires / OBC

Session 2025 · Durée : 3 h · Coefficient : 3

L'épreuve comporte deux exercices et un problème répartis sur deux pages.

EXERCICE 1 (4 points)

1. On considère le polynôme $P(z) = z^3 - (2+6i)z^2 - (12-7i)z + 9 + 7i$ où $z$ désigne un nombre complexe.

• a) Calculer $P(1+i)$ et $P(-1+2i)$. (1,5pt)
• b) En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $P(z) = 0$. (1pt)

2. On pose $z_1 = 1+i$ ; $z_2 = -1+2i$ ; $z_3 = 2+3i$ et on note respectivement $M_1$, $M_2$ et $M_3$ leurs points images.

• a) Écrire sous la forme algébrique le nombre complexe $\dfrac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$. (1pt)
• b) En déduire la nature exacte du triangle $M_1M_2M_3$. (0,5pt)

EXERCICE 2 (5 points)

Les résultats seront arrondis au centième.

Une entreprise de plus de 1 000 employés a mis en place une politique pour réduire le nombre d'accidents de travail. L'objectif de l'entreprise est d'avoir moins de 50 accidents par an.

Le tableau suivant donne par année, le nombre moyen d'accidents ayant nécessité un arrêt de travail. $x_i$ désigne le rang de l'année et $y_i$ le nombre annuel moyen d'accidents de travail.

1. Déterminer le couple $(\bar{x} ; \bar{y})$ de coordonnées du point moyen $G$ de cette série. (1pt)

2. Sachant que l'écart type de la série $(x_i)$ est $2{,}29$ ; celui de la série $(y_i)$ est $11{,}18$ et que la covariance de la série $(x_i ; y_i)$ est $-25{,}43$ :

• a) Déterminer le coefficient de corrélation linéaire de la série $(x_i ; y_i)$. (1pt)
• b) En déduire si un ajustement affine est envisageable. (0,5pt)

3. a) Déterminer une équation cartésienne de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. (1,5pt)

• b) En supposant que l'évolution constatée de 2005 à 2012 se poursuit, l'objectif de l'entreprise sera-t-il atteint en 2018 ? (0,5pt)
• c) À partir de quelle année l'objectif de l'entreprise sera-t-il atteint ? (0,5pt)

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PROBLÈME (9 points)

Partie A (2,75 points)

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O ; \vec{i}, \vec{j})$ d'unité graphique 1 cm. On désigne par $h$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $h(x) = x^3 - 3 + 2\ln x$.

1. Calculer les limites de $h$ à droite en 0 et en $+\infty$. (0,5pt)

2. a) Calculer $h'(x)$ pour tout $x \in ]0 ; +\infty[$ puis en déduire le signe de $h'(x)$ et le sens des variations de $h$. (1pt)

• b) Montrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ appartenant à l'intervalle $]1 ; 2[$. (0,75pt)

3. Donner le signe de $h$ sur $]0 ; +\infty[$. (0,5pt)

Partie B (6,25 points)

Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = x + \dfrac{1}{x} - \dfrac{2\ln x}{x}$ et $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O ; \vec{i}, \vec{j})$ d'unité 1 cm.

1. a) Calculer les limites de $f$ à droite en 0 et en $+\infty$. (0,5pt)

• b) En déduire une équation de l'asymptote verticale à $(C_f)$. (0,25pt)

2. a) Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y = x$ est asymptote oblique à $(C_f)$ en $+\infty$. (0,5pt)

• b) Étudier la position relative de $(C_f)$ par rapport à $(D)$. (0,5pt)

3. a) Montrer que pour tout $x \in ]0 ; +\infty[$, $f'(x) = \dfrac{h(x)}{x^2}$. (1pt)

• b) Dresser le tableau des variations de la fonction $f$. (0,75pt)

4. Tracer la courbe $(C_f)$ et ses asymptotes dans le repère $(O ; \vec{i}, \vec{j})$. Prendre $\alpha = 1{,}5$. (1pt)

5. a) En remarquant que $\dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{1}{x} \times \ln x$, montrer que $I = \displaystyle\int_1^{\alpha} \dfrac{\ln x}{x}\,dx = \dfrac{1}{2}\ln^2\alpha$. (1pt)

• b) Calculer alors l'intégrale $J = \displaystyle\int_1^{\alpha} f(x)\,dx$. (0,75pt)

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