Mathématiques — Baccalauréat, Série A4

Tchad — Complexe ISICO-ISGA

Classe : Terminales ACC/Tchad/RCA · Année scolaire : 2024/2025 · Coefficient : 2 · Durée : 02h00

Exercice 1 : 04 Points

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(E) : x^2+200x-1025=0$. (1pt)

2. Madame ATEBA a placé dans une banque une somme de 70 000 F pendant deux ans à un taux annuel de $t\%$ à intérêts composés (c'est-à-dire qu'à la fin de chaque année, les intérêts produits s'ajoutent au capital pour former le nouveau capital). Au bout de deux années, elle retire son capital qui est de 77 175 F.

• a) Montrer que $t$ est solution de l'équation $(E)$ de la question 1. (2pts)
• b) En déduire la valeur du taux de placement dans cette banque. (1pt)

Exercice 2 : 04 Points

Le tableau suivant donne la production $x_i$ (en grammes) de beurre de cacao obtenue à partir de la masse $y_i$ (en grammes) d'une variété de cacao brut utilisée dans une société agroalimentaire.

1. Représenter graphiquement le nuage de points $(x_i,y_i)$ dans un repère orthogonal. Prendre 1 cm pour 2 grammes de beurre de cacao produit en abscisses et 1 cm pour 25 grammes de cacao en ordonnées. (1pt)

2. Calculer les coordonnées $(x,y)$ du point moyen G de cette série statistique. (0,5pt)

3. On subdivise cette série statistique en deux sous-séries $(S_1)$ et $(S_2)$ :

• a) Déterminer les coordonnées des points moyens $G_1$ et $G_2$ de ces deux séries statistiques $(S_1)$ et $(S_2)$. (1pt)
• b) Montrer qu'une équation de la droite d'ajustement par la méthode de Mayer est : $y = \dfrac{28}{3}x + \dfrac{142}{3}$. (1pt)
• c) Dans ces conditions, donner une estimation à $10^{-2}$ près de la masse de cacao brut nécessaire pour la production de 25 grammes de beurre de cacao. (0,5pt)

Exercice 3 : 04 Points

On considère le polynôme P défini par : $P(x) = -2x^3-x^2+13x-6$.

1. Vérifier que 2 est une racine de P. (0,5pt)

2. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $P(x) = (x-2)(ax^2+bx+c)$. (1pt)

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $-2x^2-5x+3=0$. (1pt)

4. En déduire la résolution dans $\mathbb{R}$ de l'inéquation $P(x) \leq 0$. (1,5pts)

Problème : 08 Points

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \dfrac{-x^2+x+5}{x+1}$

1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$, noté $D_f$. (0,5pt)

2. Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$. (1pt)

3. En déduire l'équation de l'asymptote évidente à la courbe $(C_f)$. (0,5pt)

4. Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $x\in D_f$, $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1}$. (1pt)

5. En déduire que la courbe $(C_f)$ admet une asymptote oblique $(D)$ dont on précisera l'équation. (0,75pt)

6. Montrer que le point $I(-1;3)$ est centre de symétrie de $(C_f)$. (1,5pt)

7. Calculer la dérivée de $f(x)$ et dresser son tableau de variation. (1,5pts)

8. Tracer $(C_f)$ et ses asymptotes dans un même repère. (1,25pt)

« Sans travail acharné, rien ne pousse sauf les mauvaises herbes ; le premier principe pour réussir est de tomber amoureux de son travail. »