Mathématiques — Baccalauréat, Série C

République du Congo — Ministère de l'Enseignement Préscolaire, Primaire, Secondaire et de l'Alphabétisation

Unité — Travail — Progrès · Cabinet, Direction des Examens et Concours, Service du Baccalauréat

Session : Juin 2024 · Durée : 4 heures · Coefficient : 05 · Documents autorisés : Néant

Exercice 1 : (04 points)

On considère dans l'ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$ le système : $(S): \begin{cases} x \equiv 3\,[7] \\ x \equiv 5\,[9] \end{cases}$

1) Prouver que 185 est solution de $(S)$. (1 point)

2)

• a) Montrer que si $x$ est une solution de $(S)$, alors $x-185$ est divisible par 7 et par 9. (0,5 point)
• b) Montrer que si un entier $p$ est divisible par 7 et par 9, alors $p$ est divisible par 63. (0,5 point)
• c) En déduire que si $x$ est une solution de $(S)$, alors $x\equiv185\,[63]$. (0,5 point)

3) Déterminer toutes les valeurs de $x$, solutions de $(S)$, telles que $680\leq x\leq820$. (0,5 point)

4) Un sac contient N oranges. Si on les range par groupe de 7, il en reste 3, et si on les range par groupe de 9, il en reste 5.

• a) Justifier que N est solution de $(S)$. (0,5 point)
• b) En déduire le nombre d'oranges contenues dans le sac sachant que $680\leq N\leq750$. (0,5 point)

Exercice 2 : (08 points)

Dans le plan orienté $(P)$, on considère un segment $[AB]$. C est le point du plan tel que ABC soit un triangle équilatéral de sens direct. On note O le centre du triangle ABC ; I est le projeté orthogonal de A sur le segment $[BC]$. La parallèle à la droite (AI) passant par le point C coupe la droite (AB) au point $\Omega$. D est le symétrique de B par rapport au point C.

1) Faire la figure. On prendra $[AB]$ horizontalement tel que $AB=6$ cm. (1 point)

2) Soient $f$ et $g$ les transformations ponctuelles du plan définies par : $f = t_{\vec{BC}} \circ r_{(A,\frac{\pi}{3})}$ et $g = f \circ r_{(B,-\frac{\pi}{3})}$.

• a) Justifier que : $t_{\vec{BC}} = S_{(AC)}\circ S_{(AI)}$. (0,5 point)
• b) Établir que : $r_{(A,\frac{\pi}{3})} = S_{(AI)}\circ S_{(AB)}$. (0,5 point)
• c) En déduire que $f$ est une rotation de centre $\Omega$ et d'angle de mesure $\dfrac{2\pi}{3}$. (0,5 point)
• d) Montrer que $g$ est une translation. (0,5 point)
• e) Montrer que $g(B)=D$. En déduire le vecteur de la translation $g$. (1 point)

3) On considère la similitude plane directe S d'angle de mesure $-\dfrac{\pi}{3}$ et de rapport 2, de centre $\Omega_1$, et qui transforme A en D.

• a) Montrer que le triangle $\Omega_1AD$ est rectangle de sens indirect en A (on pourra calculer le produit scalaire $\vec{\Omega_1A}\cdot\vec{\Omega_1D}$). (0,5 point)
• b) En déduire la construction de $\Omega_1$. (0,5 point)
• c) Placer le point I' image de I par S. (0,5 point)
• d) Montrer que les points A, I' et I sont alignés. (0,5 point)

4) Soit $(E)$ l'ensemble des points M du plan tels que $MB+MC=2AC$.

• a) Montrer que A appartient à $(E)$. (0,5 point)
• b) Justifier que $(E)$ est une ellipse. Préciser l'axe focal. (1 point)
• c) En remarquant que I est le centre de $(E)$ et que B et C sont les foyers de $(E)$, calculer l'excentricité de $(E)$. (0,5 point)

Exercice 3 : (05 points)

On se propose de déterminer un encadrement de l'intégrale suivante : $J = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2e^{-x}}\,dx$

1) Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par $f(x) = x^2e^{-x}$.

• a) Calculer la fonction dérivée $f'$ de $f$ puis étudier son signe. (1 point)
• b) Dresser le tableau de variation de $f$. On donne $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$. (1 point)
• c) En déduire que $\forall x\in[0,1]$, $0\leq f(x)\leq1$. (0,5 point)

2)

• a) Montrer que la fonction numérique F définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x)=(-x^2-2x-2)e^{-x}$ est une primitive de la fonction $f$. (0,5 point)
• b) En déduire la valeur de l'intégrale $K = \displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx$. (0,5 point)

3)

• a) On admet que $\forall u\in[0,1]$, $1-u\leq\dfrac{1}{1+u}\leq1-\dfrac{u}{2}$.

  En remplaçant $u$ par $f(x)$, démontrer que $1-K \leq J \leq 1-\dfrac{K}{2}$. (1 point)

• b) En déduire que $\dfrac{5}{e}-1 \leq J \leq \dfrac{5}{2e}$. (0,5 point)

Quelques passages de cet exercice (fin de la question 1b, et l'encadrement final de la question 3b) provenaient d'une zone du document source partiellement effacée/tachée ; la reconstruction ci-dessus suit la logique mathématique de l'exercice mais gagnerait à être vérifiée contre l'original.

Exercice 4 : (03 points)

On considère un dé à six faces numérotées de 1 à 6. Après le jet, on note le numéro de la face supérieure apparue. Le dé est truqué de la manière suivante :

• Les numéros de même parité ont la même chance d'apparition.
• Un numéro pair a deux fois plus de chance d'apparaître qu'un numéro impair.

On définit :

$p$ la probabilité d'un numéro pair

$q$ la probabilité d'un numéro impair

On rappelle que si $\Omega$ est l'ensemble de tous les cas possibles, alors $P(\Omega)=1$.

1) Calculer les probabilités $p$ et $q$. (1 point)

2) Soit C l'événement : « le numéro tiré est un nombre premier ».

• a) Écrire l'ensemble C en extension. (0,5 point)
• b) Montrer que la probabilité $p'$ de tirer un nombre premier est : $p'=\dfrac{4}{9}$. (0,5 point)

3) On lance 4 fois de suite le même dé et on note X la variable aléatoire qui associe le nombre de fois qu'un numéro premier apparaît.

• a) Calculer la probabilité d'obtenir exactement une fois un numéro premier. (0,5 point)
• b) Calculer la probabilité de ne pas avoir un numéro premier. (0,5 point)