TEST DE MATHEMATIQUES -- EDITION 2024

Republique du Benin -- Association des Professeurs de Mathematiques du Benin (APMB) Enregistree sous le n.96-59 MISAT/DC/DAI/SAAP-Assoc. du 13 mai 1996

Classe de Troisieme -- Duree : 02 heures

Contexte : L'entrepreunariat agricole.

Gounou est un cultivateur specialise de la production de l'huile de palme sur sa ferme. Pour ses palmiers selectionnes, il emploie 50 ouvriers repartis en deux categories : les professionnels et les amateurs. Un ouvrier professionnel recoit un salaire de 80 000 F CFA et un amateur en recoit 50 000 F CFA. Gounou paye a l'ensemble de ses ouvriers un montant global de 3 100 000 FCFA.

Pour un nombre n d'hectares emblaves la quantite en tonnes d'huile de palme est $f(n)$ ou f est une application lineaire. Pour 2 hectares de palmiers a huile, il obtient 8 tonnes d'huile de palme.

Gounou a installe dans la ferme une machine de transformation de noix de palme en huile qu'il conserve dans une citerne ayant la forme d'un tronc de cone de rayons de bases $r=10dm$ et $R=12dm$. La hauteur h exprimee en decimetre est la distance a zero de la somme des solutions de l'equation $x^2+15x+56=0$.

Gougbe est un employe professionnel de la ferme et soucieux du bon fonctionnement des activites. Il a pris connaissance de toutes ces informations et cherche a :

• determiner le nombre d'ouvriers de chaque categorie, la productivite de ses palmiers et la quantite d'huile que contient chaque citerne pleine ;
• preciser la forme geometrique du site de transformation, connaitre la distance qui separe chaque lampadaire de la machine de transformation de noix de palme a reperer ;
• preciser la tranche de distances que la majorite des clients de Gounou parcourent pour se rendre sur la ferme et en faire une representation graphique.

Tache : Tu es invite(e) a apporter des reponses aux preoccupations de Gougbe en resolvant les problemes ci-apres.

Probleme 1

1. a) Resous dans $\mathbb R\times\mathbb R$ le systeme $\begin{cases}x+y=50\\8x+5y=310\end{cases}$ d'inconnues (x;y). b) Determine le nombre d'ouvriers de chaque categorie.
2. a) Determine l'expression de $f(x)$ pour tout nombre reel x. b) Deduis-en le nombre d'hectares a emblaver pour produire 20 000 kg d'huile.
3. a) Developpe et reduis $\left(x+\dfrac{15}{2}\right)^2-\dfrac{225}{4}$ puis factorise $x^2+15x+56$. b) Justifie que $h=15\,dm$. c) Determine en $dm^3$, la quantite d'huile que peut contenir la citerne pleine.

Probleme 2

Le plan du sol de la ferme est muni du repere orthonorme $(O,I,J)$. Le site de transformation est delimite par un quadrilatere ABCD ou $\vec{OA}=-\vec{OI}+3\vec{OJ}$, $\vec{BO}=-3\vec{OI}+\vec{JO}$, $C(2;-1)$ et $\vec{AD}=-\vec{OI}-2\vec{OJ}$. Deux lampadaires solaires sont implantes en des points E et K ; la machine de transformation au point G telle que : le point K est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, le point $G\left(\dfrac75;b\right)$ est le projete orthogonal du point B sur la droite (AC) et la droite (BG) recoupe le cercle en D.

4. a) Precise les coordonnees du point A, puis justifie que $B(3;1)$ et $D(-2;1)$. b) Place chacun des points A, B, C, D, E et G dans le repere (O,I,J).
5. a) Justifie que le quadrilatere ABCD est un rectangle. b) Determine le couple de coordonnees du point K.
6. a) Justifie que les triangles ABC et EGC sont semblables. b) Calcule les longueurs CG, EG et KG.
7. Determine les coordonnees du point G.

Note de transcription : la position exacte du point E (deuxieme lampadaire) n'est pas donnee explicitement ailleurs dans l'enonce transcrit -- elle est probablement definie graphiquement sur la figure d'origine (non fournie) ; les items 6a et une partie de 6b dependant de E sont donc a verifier avec le sujet officiel.

Probleme 3

Les donnees relatives aux distances parcourues par les clients de Gounou pour se rendre sur la ferme sont consignees dans le tableau ci-dessous.

Avec $d=(2\sqrt2+3)^{2023}(2\sqrt2-3)^{2024}+\dfrac{4}{\sqrt2}+5$

(On definit ainsi une serie statistique dont les modalites sont les distances parcourues.)

8. Justifie que $d=8$.
9. a) Regroupe cette serie en classes de meme amplitude et dont la premiere classe est $[0;4[$. b) Precise la classe modale de cette serie statistique.
10. Construis le diagramme semi-circulaire de la serie groupee.