Mathématiques — Baccalauréat Blanc National, Série D

Burkina Faso — Association des Élèves et Étudiants Musulmans au Burkina (A.E.E.M.B.)

Session 2024 · Durée : 4 h · Coefficient : 05 · (La calculatrice n'est pas autorisée)

Exercice 1 (4,5pts)

Soit le polynôme $P(z)=z^3-(1+2i)z^2-3z+2i-1$

1) Montrer que le polynôme P(z) admet une racine réelle $z_0$ que l'on déterminera.

2) Déterminer trois nombres complexes $a$, $b$ et $c$ tels que : $P(z)=(z-z_0)(az^2+bz+c)$

3) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $P(z)=0$

4) Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{u};\vec{v})$ (unité 2 cm), on désigne par A, B et C les points d'affixes respectives les trois solutions trouvées à la question 3, dont $2+i$ et $-1$.

• a) Placer les points A, B et C.
• b) Soit D l'image de A par la translation de vecteur $\vec{BC}$. Calculer l'affixe de D.
• c) Calculer le nombre $Z = \dfrac{z_A}{z_A-z_B}$
• d) Déterminer le module et un argument de Z.
• e) En déduire la nature du triangle OAB.

Le détail des trois affixes de la question 4 (laquelle des trois racines correspond à A, B, C) et la définition exacte de Z en c) provenaient d'une zone resserrée du document source ; reconstruction faite selon la logique de l'exercice, à vérifier contre l'original.

Exercice 2 (4,5pts)

On pose $A(x) = \dfrac{2\ln(x-1)}{x^2-x}$

1) a) Montrer que, pour tout $x\geq2$, on a : $\dfrac{1}{(x-1)^2} \leq \dfrac{2}{x^2-x} \leq \dfrac{1}{x-1}$

b) En déduire que, pour tout $x\geq2$ : $\dfrac{\ln(x-1)}{(x-1)^2} \leq A(x) \leq \dfrac{\ln(x-1)}{x-1}$

2) a) Calculer $I = \displaystyle\int_2^{5/2} \dfrac{\ln(x-1)}{x-1}\,dx$

b) En utilisant une intégration par parties, calculer $J = \displaystyle\int_2^{5/2} \dfrac{\ln(x-1)}{(x-1)^2}\,dx$

3) Déduire de ce qui précède un encadrement de $K = \displaystyle\int_2^{5/2} A(x)\,dx$

Problème (11pts)

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\sqrt{x^2+1}-x$. On note $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O;\vec\imath;\vec\jmath)$ d'unité 2 cm, et $(\Delta)$ la droite d'équation $y=-2x$.

Partie A

1- Préciser l'ensemble de définition $D_f$ de $f$.

2- a) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)$.

b) Montrer que, pour tout nombre réel $x$, $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}$

c) En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$ et interpréter graphiquement le résultat obtenu.

3- Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\big(f(x)+2x\big)=0$.

a) Montrer que, pour tout réel $x$, $f(x) > 0$, puis en déduire le signe de $\big(f(x)+2x\big)$.

b) Interpréter graphiquement tous ces résultats.

4- a) Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{-f(x)}{\sqrt{x^2+1}}$

b) Étudier le sens de variation de $f$ puis dresser son tableau de variation.

c) Déduire de ce qui précède que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ vers un intervalle I que l'on précisera.

5) Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(C)$ au point d'abscisse 0.

6) Tracer $(\Delta)$, $(T)$ et $(C)$ dans le repère.

7) Tracer la courbe $(\Gamma)$ de $f^{-1}$ dans le même repère que $(C)$. On expliquera la construction.

La numérotation des questions 3 et 4 de cette partie était ambiguë sur le document source (double lettrage a/b/c) ; l'ordre logique le plus cohérent a été retenu, à confirmer avec l'original si besoin.

Partie B

1- Démontrer que $\dfrac{\sqrt3}{3}$ est l'unique solution de l'équation $f(x)=x$.

2- Démontrer que, pour tout $x\in\left[\dfrac12;\dfrac34\right]$, $\dfrac12\leq f(x)\leq\dfrac34$, et que pour tout $x\in\left[\dfrac12;\dfrac34\right]$, $f'(x)\leq\dfrac{2}{\sqrt5}$.

3- On considère la suite $(U_n)$ définie par $U_0=\dfrac12$ et $U_{n+1}=f(U_n)$ pour tout entier $n$.

a- Démontrer que, pour tout entier $n$, $U_n\in\left[\dfrac12;\dfrac34\right]$.

b- Démontrer que, pour tout entier $n$, $\left|U_{n+1}-\dfrac{\sqrt3}{3}\right|\leq\dfrac{2}{\sqrt5}\left|U_n-\dfrac{\sqrt3}{3}\right|$.

c- En déduire que $\left|U_n-\dfrac{\sqrt3}{3}\right|\leq\left(\dfrac{2}{\sqrt5}\right)^n$.

d- Montrer que la suite $(U_n)$ converge et calculer sa limite.

On donne : $\dfrac{2}{\sqrt5}=0{,}89$ ; $\dfrac{\sqrt3}{3}=0{,}57$ ; $\dfrac{\sqrt5}{2}=1{,}11$

A.E.E.M.B. ; « la conviction d'une jeunesse ! »