Mathématique — BEPC Blanc National

Burkina Faso — Association des Élèves et Étudiants Musulmans au Burkina (A.E.E.M.B.)

Session 2023 · Durée : 2 h · Coefficient : 05

Première partie : 11 points

Dans cette partie, toutes les questions sont indépendantes.

I.

Pour chacune des questions ci-dessous, écrire le numéro de la question suivi de la lettre de la bonne réponse.

1. On considère dans $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ l'équation $2x-y+5=0$. Un couple solution de cette équation est :

• a. $(0\,;5)$
• b. $(-3\,;1)$
• c. $(0\,;-5)$
• d. $(-1\,;-1)$

(1pt)

2. Parmi les expressions suivantes, quelle est celle d'une application affine ?

• a. $f(x)=\dfrac{-2x+3}{x+1}$
• b. $g(x)=\sqrt2 x+5$
• c. $h(x)=3x+\dfrac{2}{3}$
• d. $k(x)=2x^2+3x-1$

(1pt)

3. Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath\,;\vec\jmath)$, on considère la droite $(\Delta)$ d'équation $-x+3y-\dfrac13=0$. Le coefficient directeur de $(\Delta)$ est :

• a. $3$
• b. $-3$
• c. $-\dfrac13$
• d. $\dfrac13$

(1pt)

4. ABC est un triangle rectangle en A tel que $BC=17$ et $\cos\hat{B}=0{,}59$. La longueur du côté $[AB]$ est :

• a. $28{,}81$
• b. $10{,}03$
• c. $17{,}59$
• d. $0{,}03$

(1pt)

5. Si $11<3x-3<12$ alors :

• a. $\dfrac{14}{3}<x<5$
• b. $\dfrac{11}{3}<x<4$
• c. $\dfrac{8}{3}<x<3$

(1pt)

II.

1. Développer $g(x)=(\sqrt3x-1)(\sqrt3x+1)$ en utilisant l'identité remarquable qui convient. (1pt)

2. Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath\,;\vec\jmath)$, on donne les vecteurs $\vec{AB}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ et $\vec{CD}\begin{pmatrix}10\\-1\end{pmatrix}$.

Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont-ils orthogonaux ? Justifier votre réponse. (1pt)

3. KIF est un triangle rectangle en I tel que $KI=\sqrt5$ et $IF=2$. Calculer la longueur de l'hypoténuse $[KF]$. (1pt)

4. En utilisant la relation de Chasles, simplifier l'expression suivante : $\vec{u} = \vec{BC}+\vec{BA}+\vec{DB}-\vec{BC}$ (1pt)

5. Écrire le nombre suivant sous la forme $a+b\sqrt{c}$ où $a$, $b$ et $c$ sont des entiers : $A=2\sqrt{16}-3\sqrt{28}+\sqrt{63}-\sqrt{700}$ (1pt)

6. Le relevé des âges (en années) des élèves d'une classe de 3ème a donné les résultats suivants :

15 20 14 16 18 17 19 16 17 20 14 14 21 19 17 15 16 18 14 20 21 16 19 17 17 14 21 15 18 20 19 16 14 21 15 21

Regrouper (dans un tableau) les valeurs du caractère dans des classes d'amplitude 2, la dernière étant $[20\,;22]$. (1pt)

Deuxième partie : 9 points

Exercice 1

Soit $g$ la fonction définie de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ par : $g(x)=3-|2x-1|$.

1. Montrer que $g$ est l'application affine par intervalles définie par : $g(x) = \begin{cases} 2x+2 & \text{si } x\in\,]-\infty\,;1/2] \\ -2x+4 & \text{si } x\in[1/2\,;+\infty[ \end{cases}$ (2pts)

2. Représenter dans un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath\,;\vec\jmath)$ l'application $g$. Prendre pour unité graphique 1 cm. (2pts)

Exercice 2

Soit $h$ la fonction rationnelle définie par $h(x)=\dfrac{x^2}{x^2-2x}$.

1. Déterminer l'ensemble de définition $D_h$ de $h$. (1pt)

2. Écrire $D_h$ sous forme de réunion d'intervalles. (0,5pt)

3. Simplifier $h(x)$ sur $D_h$. (1pt)

4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $h(x)=-\dfrac32$. (1pt)

Exercice 3 (1,5pts)

1. Calculer la surface S d'un carré ABCD tel que : $AB=2$ cm. (0,5pt)

2. Le carré ABCD est la base d'une pyramide régulière de hauteur $h=6$ cm. Calculer le volume de cette pyramide. On rappelle que $V=\dfrac13\times S\times h$. (1pt)

A.E.E.M.B. ; « la conviction d'une jeunesse ! »