Mathématiques — BT Industriel (MA, MF, CM, MEB, JB, LE, MEM, MISE, MIB, BIJO)

Cameroun — MINESEC / OBC

Session 2016 · Durée : 3 h · Coefficient : 3

EXERCICE 1 : 4,5 points

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. On désigne par $(H)$ l'ensemble des points $M(x,y)$ qui vérifient l'équation $(E) : 4x|x| + y^2 - 16x - 20 = 0$.

1.

• (a) Exprimer $(E)$ sans le symbole de la valeur absolue. (0,5pt)
• (b) En déduire que $(H)$ est la réunion d'une partie d'une conique $(C_1)$ et d'une partie d'une conique $(C_2)$. (0,5pt)
• (c) Préciser pour chaque conique $(C_1)$ et $(C_2)$ la nature, le centre et les sommets. (2pts)

2.

• (a) Vérifier que le point $A(0\,;2\sqrt{5})$ appartient à $(C_1)$ et $(C_2)$. (0,25pt)
• (b) Donner une équation de la tangente à $(C_1)$ en $A$. (0,25pt)
• (c) Donner une équation de la tangente à $(C_2)$ en $A$. (0,25pt)

3. Tracer $(E)$ en prenant pour unité un centimètre. (0,75pt)

EXERCICE 2 : 4,5 points

Une enquête est menée pour établir le nombre d'acheteurs (en milliers) d'un produit en fonction de son prix de vente (en milliers de frs).

1. Représenter le nuage de points associé à la série $(x_i,y_i)$ dans un repère orthonormé ainsi que le point moyen $M$. (1,5pt)

2.

• (a) Montrer qu'une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés est : $y = -0{,}92x + 3{,}87$. (2pts)
• (b) Tracer cette droite dans le repère précédent. (0,5pt)
• (c) Utiliser cet ajustement pour estimer le nombre d'acheteurs potentiels si le produit est vendu à 2500 frs ; à 4500 frs. (0,5pt)

PROBLÈME : 11 points

A/ Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = 1+(1-x)e^{-x}$.

1. Calculer $g'(x)$. (0,75pt)

2. Dresser le tableau de variation de $g$. (0,75pt)

3. Montrer que pour tout réel $x$, $g(x) \geq 1-e^{-2}$. (0,5pt)

4. En déduire le signe de $g$ sur $\mathbb{R}$. (0,25pt)

B/ On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x-1+xe^{-x}$ et on note $(C_f)$ sa courbe dans le plan rapporté au repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1. Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. (0,75pt)

2. Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y=x-1$ est asymptote à la courbe $(C_f)$ en $+\infty$, puis étudier la position de $(C_f)$ par rapport à cette droite. (1pt)

3. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \dfrac{f(x)}{x}$. Que peut-on en déduire ? (1pt)

4.

• (a) Calculer $f'(x)$. (0,75pt)
• (b) Dresser le tableau de variation de $f$. (0,75pt)

5.

• (a) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\beta$. (0,75pt)
• (b) Vérifier que $0{,}6 < \beta < 0{,}7$. (0,5pt)

6. Tracer la courbe $(C_f)$. (1pt)

C/

1. Déterminer, à l'aide d'une intégration par parties, les primitives sur $\mathbb{R}$ de la fonction $h$ définie par $h(x)=xe^{-x}$. (1pt)

2. Soit $t$ un réel strictement positif. On note $\mathscr{A}(t)$ l'aire de la portion du plan limitée par la courbe $(C_f)$, la droite $(D)$ et les droites d'équations respectives $x=0$ et $x=t$.

• (a) Calculer $\mathscr{A}(t)$. (1pt)
• (b) Déterminer la limite en $+\infty$ de $\mathscr{A}(t)$. (0,5pt)