Sujet d'examen blanc de Mathématiques du BAC séries C, E, college montesquieu, yaounde 2025 (Cameroun).
Cameroun — Collège Privé Bilingue Montesquieu, Yaoundé
Session : Mai 2025 · Durée : 4 h · Coefficient : 7 (C) / 6 (E)
L'épreuve comporte trois (03) exercices et une situation problème répartis sur deux pages.
Soient et deux fonctions numériques définies par : et
Partie I : 4,25 points
1. a) Montrer que est paire et est impaire. Vérifier que et en déduire les tableaux de variation des fonctions et sur . (0,5pt)
b) Tracer les courbes représentatives et des fonctions respectives et dans le même repère orthonormé d'unité 2 cm. (0,75pt)
2. Montrer que la restriction de à l'intervalle est une bijection de vers . (0,5pt)
En déduire que la fonction réciproque de est définie par . (0,75pt)
a) Tracer la courbe représentative de dans le même repère précédent. (0,5pt)
c) On pose ; , et on note la partie du plan délimitée d'une part par les droites d'équations et , d'autre part par la courbe et la droite d'équation .
En utilisant la symétrie orthogonale d'axe , calculer l'aire en cm² de . (0,75pt)
3. On considère par la courbe paramétrique ,
a) Montrer que est une hyperbole d'équation cartésienne dont on précisera les éléments caractéristiques. (0,5pt)
b) Donner l'image de par l'application S du plan dans lui-même, d'écriture complexe . Construire . (0,75pt)
Partie II : 2,5 points
Soit l'espace vectoriel des fonctions continues de vers . On appelle H le sous-espace vectoriel de de dimension 2 dont une base est où et sont les fonctions définies ci-dessus.
1. On note , où est le logarithme népérien.
a) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de H. (0,5pt)
b) En déduire une droite vectorielle dont on précisera une base. (0,5pt)
2. Soit l'application définie par .
a) Montrer que est une application linéaire. (0,5pt)
b) Déterminer le noyau de et en déduire que est un isomorphisme. (0,5pt)
I- Démontrer que, pour tout :
II- Dans l'espace affine euclidien muni du repère orthonormé direct , on donne le plan d'équation cartésienne .
Déterminer l'expression analytique de la symétrie orthogonale par rapport à .
III- X est une variable aléatoire prenant les valeurs , , avec des probabilités respectives, sachant que l'espérance mathématique et que , , sont, dans cet ordre, en progression géométrique.
a) Déterminer et . (1pt)
b) Déterminer . (0,5pt)
Les bornes/variable de l'intégrale en I- et l'énoncé complet des probabilités en III- provenaient d'une zone du document source difficile à lire (texte resserré près du pli de la page) ; la reconstruction ci-dessus suit la logique de l'énoncé mais gagnerait à être vérifiée contre l'original avant usage en classe.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct . Soient A et B les points d'affixes respectives et . On considère la droite d'équation .
1) Montrer que l'ensemble des points de à coordonnées entières est l'ensemble des points où . (0,75pt)
2) Soit S la similitude directe de centre A qui transforme B en .
a) Déterminer le rapport K et l'angle de S. (0,5pt)
b) Donner l'écriture complexe de S. (0,5pt)
3) On pose et, pour tout , .
a) Exprimer en fonction de , puis l'angle en fonction de . (0,75pt)
b) Déterminer l'ensemble des entiers pour lesquels A, et sont alignés. (0,75pt)
Situation :
Pour honorer leur professeur de Mathématiques qui a fait valoir ses droits à la retraite, les élèves d'une classe de Tle C d'un établissement ont décidé de lui offrir une maquette et plusieurs médailles de décoration.
Cette maquette est un quadrilatère ABCD tel que, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct d'unité 1 cm, les sommets sont les points images n'appartenant pas à l'axe des ordonnées des solutions de l'équation :
L'artisan mathématicien chargé de mettre sur pied cette maquette entreprend, pour cela, le changement de variable complexe . Cette maquette doit être peinte d'un produit de protection nécessitant 2 cl pour 10 cm² de surface, et coûtant 5000 FCFA le bidon d'un litre.
À l'intérieur de cette maquette sera gravé, en matière dorée, un logo représentant le symbole du groupe. En utilisant le modèle mathématique, nos camarades constatent que, dans ce repère orthonormé d'unité 1 cm, ce logo est délimité par une parabole de sommet , de paramètre 2, d'axe focal , et par la droite passant par les points et de cette parabole. Pour mieux cerner ce logo afin d'évaluer son aire, nos amis décident d'utiliser, dans ce repère, la similitude S de centre transformant O en pour transformer cette parabole.
Ils veulent enfin déterminer le nombre de petites médailles de décoration à offrir : ce nombre, inférieur à 100, est égal à l'âge de l'enseignant, et ils décident de contribuer équitablement. Dans le projet initial, ils sont 7 élèves et il manquerait alors 6 médailles pour que chacun paie un nombre entier de médailles. Avec la publicité faite auprès de leurs camarades de classe, 18 élèves participent finalement, et il manquerait alors 15 médailles dans les mêmes conditions.
Tâches :
1) Quel serait l'âge de cet enseignant ? (1,5pt)
2) Déterminer la somme qui doit être fournie pour peindre cette maquette. (1,5pt)
3) Quelle est la somme qui sera utilisée pour la production du logo ? (1,5pt)
Présentation (0,5pt)
L'équation (E) de l'exercice de situation et la formulation exacte du problème des médailles (dans la partie sur les 7 puis 18 élèves) provenaient également d'une zone du document peu nette ; reconstruction faite selon la logique du problème, à vérifier contre l'original.
