MATHEMATIQUES

Ministere de l'Enseignement Superieur, de la Recherche et de l'Innovation -- Office du Baccalaureat du Niger (OBN)

Sujet de : Mathematiques -- Epreuve du 1er groupe -- Serie/Specialite : D -- Coefficient : 5 -- Duree : 4H -- Annee : 2020

EXERCICE 1 (4 points)

1. Resoudre dans $\mathbb C$ l'equation : $z^2+2z+10=0$. (0,5 point)
2. Determiner les nombres complexes u et v tels que : $\begin{cases}-2u+v=1+13i\\-u+v=4+8i\end{cases}$ (0,5 point)
3. On considere les points A, B, C et D d'affixes respectives $z_A=-1+3i$, $z_B=-1-3i$, $z_C=3-5i$, $z_D=7+3i$. a) Placer les points A, B, C et D dans le plan complexe muni d'un repere orthonormal $(O;\vec e_1,\vec e_2)$ (unite 1 cm). (0,5 point) b) Demontrer que le triangle (BAD) est rectangle en A, et le triangle (BCD) est rectangle en C. (1 point) c) En deduire que les quatre points A, B, C, D sont sur un meme cercle $(\Gamma)$ dont on precisera le centre I et le rayon. Tracer $(\Gamma)$ sur la figure. (1 point)
4. Demontrer que les points C' et D', images respectives des nombres conjugues de $z_C$ et $z_D$, sont sur le cercle $(\Gamma)$. (0,5 point)

EXERCICE 2 (4 points)

On considere la suite $(u_n)$ definie par $u_0=5$ et pour tout entier naturel n par : $u_{n+1}=\dfrac{4u_n-1}{u_n+2}$.

1. Demontrer par recurrence que $u_n-1>0$. (1 point)
2. Pour tout entier naturel n, on pose $v_n=\dfrac{1}{u_n-1}$. a) Demontrer que la suite $(v_n)$ est une suite arithmetique de raison $\frac13$. (1 point) b) Pour tout entier naturel n, exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de n. (1,5 points) c) En deduire la limite de la suite $(u_n)$. (0,5 point)

PROBLEME (12 points)

Soit f la fonction de la variable reelle x definie sur $\mathbb R$ par : $f(x)=(x^2-3x+1)e^x$.

On note C la courbe representative de f dans le plan rapporte a un repere orthonormal $(O;\vec i,\vec j)$ (unite graphique 1 cm).

Partie A

1. a) Determiner la limite de f(x) lorsque x tend vers $-\infty$. En deduire que C admet une asymptote. Preciser la position de C par rapport a l'asymptote au voisinage de $-\infty$. (0,5+0,5+0,5 points) b) Determiner la limite de f(x) lorsque x tend vers $+\infty$. (0,5 point)
2. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation. On calculera les valeurs exactes des extremums. (1+0,5+1+0,5 points)
3. Calculer les coordonnees des points d'intersection de C avec les axes de coordonnees. (1 point)
4. Soit T la tangente a la courbe C au point d'abscisse 0. Determiner le coefficient directeur de T. (0,5 point)
5. Construire T et C. (0,5+1 points)

Partie B

1. Verifier que la fonction f est solution de l'equation differentielle : $y''-2y'+y=2e^x$. (1 point)
2. Soit F la fonction numerique definie sur $\mathbb R$ par : $F(x)=2e^x+2f(x)-f'(x)$. a) Demontrer que F est une primitive de f. (0,5 point) Calculer F(x). (1 point) b) En deduire l'aire $\mathcal A(\alpha)$ de la partie du plan, ensemble des points $M(x;y)$ tels que $\begin{cases}\alpha\le x\le0\\0\le y\le f(x)\end{cases}$ ($\alpha$ est un reel negatif). (1 point) Calculer la limite de $\mathcal A(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers $-\infty$. (0,5 point)