MATHEMATIQUES

Ministere de l'Enseignement Superieur, de la Recherche et de l'Innovation Technologique Office du Baccalaureat, des equivalences et des Examens et concours du Superieur (OBEECS)

Sujet de : Mathematiques -- Serie/Specialite : D -- 1er Groupe -- Coefficient : 5 -- Duree : 4H -- Session : 2024

Exercice 1 (4 points)

Le plan complexe P est muni d'un repere orthonorme $(O;\vec u,\vec v)$. Unite graphique 1 cm.

On considere les points A, B, K et L d'affixes respectives $z_A=2\sqrt3$, $z_B=6i$, $z_K=2\sqrt3+6i$, $z_L=2\sqrt3-2i$.

1. Placer les points A, B, K et L dans le repere $(O;\vec u,\vec v)$. Montrer qu'il existe une seule similitude plane directe F transformant B en A et K en L. Donner l'ecriture complexe de F et ses elements caracteristiques. (1,5 point)
2. Determiner une equation de la droite image de (AB) par F. (0,5 point)
3. Soit (C) le cercle circonscrit au triangle ABK. a) Determiner l'image (C') de (C) par F. (0,5 point) b) Representer (C), (C') dans le repere $(O;\vec u,\vec v)$. (0,5 point)
4. a) Calculer $\dfrac{z_K-z_A}{z_L-z_A}$. Que peut-on en deduire pour les points A, K et L ? (0,25 point) b) Montrer que pour tout point M d'affixe z appartenant a (C) il existe un argument $\theta\in\,]0;2\pi[$ tel que $z=\sqrt3+2\sqrt3\,e^{i\theta}$. (0,25 point) c) Soit M' l'image de M par F. Demontrer que pour tout point M appartenant a (C), les points M, A et M' sont alignes. (0,75 point)

Note de transcription : l'item 4 (a, b, c) de cet exercice est partiellement illisible sur la photo source (petits caracteres recouverts par un filigrane) ; l'enonce ci-dessus est une reconstitution prudente, a verifier avec le sujet officiel avant usage en correction.

Exercice 2 (4 points)

Pour une infection bacteriologique difficile a traiter, deux examens d'analyses sanguines E1 et E2 sont proposes. Le but est d'identifier la bacterie resistante responsable de l'infection ou de permettre de choisir l'antibiotique efficace pour le traitement. Avec l'examen E1 la probabilite d'un succes est egale a $\frac{1}{10}$. La probabilite d'un succes avec l'examen E2 est de $\frac{4}{10}$.

Dans 6 cas sur 10 on choisit de faire l'examen E1 et dans les 4 autres cas l'examen E2. On effectue un examen sur un patient. On designe par A l'evenement « on effectue l'examen E1 », par B l'evenement « on effectue l'examen E2 », et par S l'evenement « on a identifie la bacterie resistante ».

1. Representer l'arbre pondere de cette experience aleatoire. (0,5 point)
2. Determiner la probabilite de l'evenement S. (0,5 point)
3. Sachant qu'il y a eu un echec, quelle est la probabilite que l'examen E1 ait ete choisi ? (0,5 point)
4. On procede desormais uniquement a l'examen E2 et on designe par X la variable aleatoire donnant le nombre de succes obtenus, en effectuant 5 fois de suite pour le meme patient, l'examen E2. a) Donner la loi de probabilite de X. Quelle est la probabilite d'obtenir au moins un succes ? (1+0,25 point) b) Determiner l'esperance mathematique de X, la variance et l'ecart type de la variable X. (0,75 point)
5. En effectuant uniquement l'examen E2, n fois de suite pour le meme patient, determiner la probabilite $p'_n$ d'obtenir au moins un succes. Quelle est la valeur minimale de n pour que $p'_n$ soit superieure a 0,999 ? (0,5 point)

Probleme (12 points)

A. On considere l'equation differentielle (1) $y''-2y'+y=2e^x$

1. On pose $u(x)=x^2e^x$ pour tout reel x. Verifier que la fonction u est solution de (1). (0,5 point)
2. On pose $z=y-u$. Montrer que y est solution de (1) si et seulement si z est solution de (2) $y''-2y'+y=0$. (0,5+0,5 point)
3. Resoudre (2) puis en deduire l'ensemble des solutions de (1). (0,5+0,5 point)
4. Determiner la solution particuliere de (1) qui verifie : $y(0)=-1$ et $y'(0)=-1$. (1 point)

B. Soit la fonction numerique f de la variable reelle x definie par $f(x)=\begin{cases}(x^2-1)e^x & \text{si } x\le1\\(\ln(x))^2-2\ln(x) & \text{si } x>1\end{cases}$

On note $C_f$ la courbe representative de f dans le plan muni d'un repere orthonorme $(O;\vec i,\vec j)$ (Unite graphique 2cm).

1. Determiner le domaine de definition de f, ainsi que les limites de f aux bornes de son domaine de definition. (1,5 points)
2. Etudier la continuite et la derivabilite de f en 1. Interpreter graphiquement les resultats obtenus. (1,5 points)
3. Donner le sens de variation de f sur les intervalles $]-\infty,1]$ et $]1;+\infty[$ puis dresser son tableau de variation. (1,5 points)
4. Determiner les branches infinies de $C_f$. (1 point)
5. Representer la courbe $C_f$. (1,5 points)

C. On considere la fonction numerique F definie sur R par $F(x)=(ax^2+bx+c)e^x$ ou a, b et c sont des constantes reelles.

1. Determiner a, b et c pour que F soit une primitive de f sur $]-\infty,1]$. (1 point)
2. Soit $\alpha$ un nombre reel strictement negatif. Calculer l'aire $\mathcal A(\alpha)$ du domaine du plan delimite par l'axe des abscisses, la courbe $C_f$ et les droites d'equations $x=\alpha$ et $x=-1$. Que vaut cette aire lorsque $\alpha$ tend vers $-\infty$ ? (1+0,5 point)